sábado, 1 de outubro de 2011

APRESENTAÇÃO


“Uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há sempre uma pitada de descoberta na resolução de qualquer problema. O problema pode ser modesto, mas se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas, quem o resolver por seus próprios meios, experimentará a tensão e gozará o triunfo da descoberta. Experiências tais, numa idade suscetível, poderão gerar o gosto pelo trabalho mental e deixar, por toda a vida, a sua marca na mente e no caráter.”

G. Polya

Este blog foi criado com o intuito de fomentar a discussão a respeito da Resolução de Problemas em matemática na disciplina de Prática de Ensino VI (2011/02) do curso de Matemática Licenciatura oferecida no Complexo de Ensino Superior de Cachoeirinha (CESUCA). O objetivo do blog é, também, compartilhar problemas e resoluções com todos aqueles que são fascinados por um bom “probleminha” matemático.
Serão dispostas neste blog algumas teorias e informações sobre matemáticos (e pensadores) que fundamentam a resolução de problemas.

quinta-feira, 29 de setembro de 2011

G. Polya e "a arte de resolver problemas"

Lucas Nunes Ogliari




O ensino de matemática pauta-se largamente na resolução de problemas como uma maneira de despertar, no estudante, a vontade de busca pelo conhecimento. De acordo com o PCN+ (Ensino Médio):



A resolução de problemas é peça central para o ensino de Matemática, pois o pensar e o fazer se mobilizam e se desenvolvem quando o indivíduo está engajado ativamente no enfrentamento de desafios. Esta competência não se desenvolve quando propomos apenas exercícios de aplicação dos conceitos e técnicas matemáticos pois, neste caso, o que está em ação é uma simples transposição analógica: o aluno busca na memória um exercício semelhante e desenvolve passos análogos aos daquela situação, o que não garante que seja capaz de utilizar seus conhecimentos em situações diferentes ou mais complexas. (BRASIL, 2002, p. 112)

A capacidade, ou “arte”, de resolver problemas como propõe Polya (1995) encontra-se no campo das metodologias, num conjunto de procedimentos cartesianos para se alcançar um objetivo. Alguns processos estabelecidos pelo autor para a resolução de problemas explicitam fatores que permeiam a construção do conhecimento matemático.
George Polya (1897 – 1985), nascido na Hungria, foi um dos matemáticos mais importantes do século XX. Sua maior contribuição está relacionada à heurística da resolução de problemas matemáticos com várias publicações relacionadas ao assunto, em especial How To Solve It – que vendeu mais de um milhão de cópias - em 1957. Polya foi o primeiro matemático a apresentar uma heurística de resolução de problemas específica para a matemática (RAMOS, A; MATEUS, A; MATIAS, J.B.; CARNEIRO, T., 2002).


Como resolver um problema, segundo G. Polya (1995):




1 COMPREENSÃO DO PROBLEMA

Primeiro: preciso compreender o problema.

“Qual é a incógnita? Quais são os dados? Qual é a condicionante? É possível satisfazer a condicionante? A condicionante é suficiente para determinar a incógnita? Ou é insuficiente? Ou redundante? Ou contraditória? Trace uma figura. Adote uma notação adequada. Separe as diversas partes da condicionante. É possível anotá-las?”

2 ESTABELECIMENTO DE UM PLANO

Segundo: Encontre a conexão entre os dados e a incógnita.
é possível que seja obrigado a considerar problemas auxiliares se não puder encontrar uma conexão imediata. É preciso chegar afinal a um plano para a resolução.

“Já o viu antes? Ou já viu o mesmo problema apresentado sob uma forma ligeiramente diferente? Conhece um problema correlato? Conhece um problema que lhe poderia ser útil?
Considere a incógnita! E procure pensar num problema conhecido que tenha a mesma incógnita ou outra semelhante.
Eis um problema correlato e já antes resolvido. É possível utilizá-lo? É possível utilizar o seu resultado? É possível utilizar o seu método? Deve-se introduzir algum elemento auxiliar para tornar possível a sua utilização? É possível reformular o problema? É possível reformulá-lo ainda de outra maneira?
Volte às definições.”

Se não puder resolver o problema proposto, procure antes resolver algum problema correlato. É possível imaginar um problema correlato mais acessível? Um problema mais genérico? Um problema mais específico? Um problema análogo? É possível resolver uma parte do problema? Mantenha apenas uma parte da condicionante, deixe a outra de lado; até que ponto fica assim determinada a incógnita? Como pode ela variar? É possível obter dos dados alguma coisa de útil?
É possível pensar em outros dados apropriados para determinar a incógnita? É possível variar a incógnita, ou os dados, ou todos eles, se necessário, de tal maneira que fiquem mais próximos entre si? Utilizou todos os dados? Utilizou toda a condicionante? Levou em conta todas as noções essenciais implicadas no problema?

3 EXECUÇÃO DO PLANO

Terceiro: Execute o seu plano.

Ao executar o seu plano de resolução, verifique cada passo. É possível verificar claramente que o passo está correto? É possível demonstrar que ele está correto?


4 RETROSPECTO

Quarto: examine a solução obtida.

É possível verificar o resultado? É possível verificar o argumento? É possível chegar ao resultado por um caminho diferente? É possível perceber isto num relance? É possível utilizar o resultado, ou o método, em algum outro problema?


REFERÊNCIAS

RAMOS, A; MATEUS, A; MATIAS, J.B.; CARNEIRO, T. Problemas matemáticos: caracterização, importância e estratégias de resolução. Texto apresentado paa a disciplina MAT450 – Seminários de Resolução de Problemas, no Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo (IME-USP). São Paulo: 2002.

POLYA, G.. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro, Interciência, 1995.

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria da Educação Média e Tecnológica. PCN+ Ensino Médio: Orientações Curriculares Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais, Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília: Ministério da Educação, 2002.

quarta-feira, 28 de setembro de 2011

Os vários tipos de problemas segundo Dante

Lucas Nunes Ogliari




Dante (2009) classifica os problemas matemáticos em vários tipos, que vão desde exercícios no estilo "arme e efetue" (exercícios de reconhecimento) até problemas emergentes de uma situação real. Abaixo são descritos alguns tipos de problemas matemáticos classificados pelo autor.



Problemas-padrão: são problemas cuja solução está contida no próprio enunciado, tendo apenas de transformar a linguagem usual na linguagem matemática, para que se possa resolvê-lo através de algum algoritmo conhecido.


Problemas-processo ou heurístico: nesse tipo de problema a solução não está contida no enunciado, exigindo um plano de ação e/ou estratégias para sua resolução. A palavra “heurístico” está associada à arte ou à ciência do descobrimento. Este tipo de problema necessita de tempo para ser resolvido e normalmente torna-se ais interessantes do que um problema-padrão.



Problemas de aplicação: retratam situações reais do dia-a-dia, também chamados de situações-problema contextualizadas. Consiste na matematização de uma situação real e geralmente exigem uma pesquisa e levantamento de dados para sua resolução.

Problemas de quebra-cabeça: são desafios. A sua solução depende, quase sempre, de um golpe de sorte sobre maneira como encarar o problema para que se possa perceber algum truque ou regularidade que leve à sua resolução.


REFERÊNCIA

DANTE , Luiz Roberto. Formulação e resolução de problemas de matemática. São Paulo: Ática. 2009.

sexta-feira, 28 de janeiro de 2011

Problema das Velas

Vamos abrir o blog com um problema proposto por Daniel Rosa Assunção, aluno do curso de Matemática do CESUCA:

No vilarejo de Paulo ainda não chegou a luz elétrica, então à noite usa-se velas para a iluminação. Paulo gasta uma vela por noite, porém sempre sobra um toco. A cada três tocos Paulo faz uma vela nova. Paulo tem 40 velas. Quantos dias ele poderá manter a iluminação nestas condições? Quantos tocos sobraram no final?












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quinta-feira, 27 de janeiro de 2011

O chefe exigente







Segue aí um problema proposto por Iolanda Duarte, aluna do curso de Matemática do CESUCA:





Uma empresa possui vinte funcionários, dos quais dez são homens e dez são mulheres. O chefe da empresa acha importante que as reuniões entre os funcionários sejam organizadas em comissões de cinco pessoas e que, impreterivelmente, estas comissões sejam compostas por três homens e duas mulheres. Desse modo, qual o número de comissões possíveis que se pode formar atendendo às exigências do chefe?








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